Задача М22‍‍

а) Можно считать, что точки $T_1$‍‍ и $T_2$‍‍ лежат на прямой $A_1A_2$‍,‍ в таком порядке: $A_1$‍,‍ $T_1$‍,‍ $T_2$‍,‍ $A_2$‍‍ (рис. 2). Тогда, поскольку две касательные, проведённые из одной точки к окружности, равны, имеем $$ A_1T_1=A_1K_1,\quad A_1T_2=A_1L_1,\quad A_2T_2=A_2L_2,\quad A_2T_1=A_2K_2,\quad K_2L_2=K_1L_1, $$ откуда $$ A_1T_1+A_1T_2=A_2T_1+A_2T_2,\quad 2A_1T_1+T_1T_2=2A_2T_2+T_1T_2,\quad A_1T_1=A_2T_2. $$

б) Пусть $P$‍‍ — точка пересечения $K_1L_2$‍‍ с окружностью, касающейся сторон угла в точках $K_1$‍‍ и $K_2$‍;‍ $Q$‍‍ — точка пересечения $K_1L_2$‍‍ со второй окружностью (рис. 3). Воспользуемся тем, что квадрат касательной равен произведению отрезков секущей, проведённой из той же точки: $$ L_1K_1^2=K_1Q\cdot K_1L_2,\quad L_2K_2^2=L_2P\cdot L_2K_1. $$ Поскольку $L_1K_1=L_2K_2$‍,‍ получаем $K_1Q\cdot K_1L_2=L_2P\cdot L_2K_1$‍,‍ откуда $K_1Q=L_2P$‍.‍

Прибавив к обеим частям этого равенства $PQ$‍‍ (или, в зависимости от порядка расположения точек $P$‍‍ и $Q$‍‍ на отрезке $K_1L_2$‍,‍ отняв $PQ$‍‍ от обеих частей равенства), получим требуемое: $K_1P=L_2Q$‍.‍

Близкое к этому решение прислали А. Вировлянский из Горького и Д. Григорьев.