Задача М21‍‍

Выберем какую-то сторону $AB$‍‍ квадрата и спроектируем на неё все окружности. Предположим, что требуемой прямой провести нельзя. Тогда каждая точка на стороне $AB$‍‍ покрыта не более чем тремя проекциями окружностей (рис. 1), иначе прямая, проходящая через эту точку и перпендикулярная $AB$‍,‍ пересекала бы более трёх окружностей. Следовательно, сумма всех проекций, т. е. сумма длин диаметров окружностей, не превосходит 3; поэтому сумма длин окружностей не превосходит $3\pi$‍,‍ в то время как по условию она равна $10\gt3\pi$‍.‍ Полученное противоречие доказывает утверждение задачи.

Такое решение прислали Д. Григорьев из Ленинграда и Н. Рассихин из Москвы.

Точно так же можно доказать следующее более общее утверждение. Назовём поперечником выпуклой фигуры ширину наиболее узкой полосы, в которую эту фигуру можно поместить. (Можно показать, что это определение годится для любой ограниченной фигуры.) Тогда, если внутри фигуры с поперечником $h$‍‍ находится $n$‍‍ фигур, сумма поперечников которых больше $kh$‍,‍ то найдётся прямая, которая пересекает не менее $k+1$‍‍ из этих фигур.