Задача М20‍‍

Ответ: можно.

На рисунке 6 изображён выпуклый 12-угольник, который разрезан диагоналями на 5 частей: 8-угольник и четыре треугольника. Каждая прямая пересекает не более двух из этих треугольников. Действительно, прямая, пересекающая треугольник, должна пересечь по крайней мере одну из его сторон, общую с 12-угольником; с другой стороны, прямая может пересечь не более двух (не соседних) сторон выпуклого многоугольника. Точно так же, если $A_1A_3\ldots A_{3n}$‍‍ — выпуклый $3n\text{-}$‍‍угольник, то любая прямая пересекает не более двух из треугольников $A_1A_2A_3$‍,‍ $A_4A_5A_6$‍,‍ $A_7A_8A_9$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $A_{3n-2}A_{3n-1}A_{3n}$‍.‍

Теперь покажем, как можно разбить требуемым образом треугольник (рис. 7). Проведём прямые, отсекающие три треугольника первого ранга, так, чтобы остался правильный 6-угольник. От каждой его вершины отрежем по треугольнику второго ранга так, чтобы остался правильный 12-угольник. От каждой его вершины отрежем треугольник третьего ранга, чтобы остался правильный 24-угольник, и так 19 раз. После отрезания от вершин $3\cdot2^{k-1}\text{-}$‍‍угольника $3\cdot2^{k-1}$‍‍ треугольников $k\textit{-го}$‍‍ ранга остаётся правильный $3\cdot2^k\text{-}$‍‍угольник ($k=1$‍,‍ 2, $\ldots$‍,‍ 19).

Любая прямая пересекает не более двух треугольников каждого ранга и ещё, быть может, оставшийся $3\cdot2^{19}\text{-}$‍‍угольник, т. е. всего не более $1+2\cdot19=39$‍‍ многоугольников. Общее число всех многоугольников, на которые разбит треугольник, равно $$ 1+3+3\cdot2+3\cdot2^2+\ldots+3\cdot2^{18}=1+3(2^{19}-1)\gt 2^{20}=(2^{10})^2\gt1000^2. $$