Дана сфера радиуса 1. На ней расположены равные окружности $\gamma_0$, $\gamma_1$, $\ldots$, $\gamma_n$ радиуса $r$ ($n\ge3$). Окружность $\gamma_0$ касается всех окружностей $\gamma_1$, $\ldots$, $\gamma_n$; кроме того, касаются друг друга окружности $\gamma_1$ и $\gamma_2$; $\gamma_2$ и $\gamma_3$; $\ldots$; $\gamma_n$ и $\gamma_1$.
При каких $n$ это возможно? Вычислить соответствующий радиус $r$.
Каждой окружности на сфере можно сопоставить её «центр на сфере» — конец
радиуса сферы, проходящего через центр окружности (никогда не лежащий на сфере). Эту точку мы будем называть «центром» окружности в кавычках,
подчёркивающих, что это не «обычный» центр (рис. 2, а).
Заметим для точности, что такого определённого «центра» нет у окружностей
больших кругов сферы, у которых центр совпадает с центром сферы. Но окружности, о которых идёт речь в условии задачи, заведомо не могут иметь
радиус 1, потому что окружности двух больших кругов не могут друг друга
касаться, — они всегда пересекают друг друга в двух диаметрально
противоположных точках сферы.
Точка касания двух окружностей, расположенных на сфере (см.
рис. 2, б), лежит в плоскости $P$, проходящей через
центры окружностей и центр сферы. Действительно, обе окружности симметричны
относительно плоскости $P$, и если бы они имели общую точку по одну сторону
плоскости $P$, то должны были бы иметь и симметричную ей общую точку по другой стороне $P$, а у них всего одна общая точка. Если эти окружности
имеют один и тот же радиус $r$, то расстояние между их «центрами» равно
$2r$, потому что на окружности большого круга, получающейся в пересечении
сферы и плоскости $P$ (рис. 2, в), диаметры наших
окружностей (чёрные отрезки) и отрезок, соединяющий их «центры» (красный),
стягивают равные дуги.
Пусть $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_n$ — «центры» окружностей $\gamma_0$,
$\gamma_1$, $\ldots$, $\gamma_n$, о которых идёт речь в условии задачи.
Тогда
$$
A_0A_1=A_0A_2=\ldots=A_0A_n=A_1A_2=A_2A_3=\ldots=A_nA_1=2r,
$$
другими словами, $A_0A_1\ldots A_n$ — вписанная в данную сферу радиуса 1 правильная $n$-угольная пирамида с вершиной $A_0$, у которой все боковые
грани — равносторонние треугольники со сторонами равными $2r$. Итак,
достаточно построить пирамиду, для которой выполнены эти условия, тогда
точки $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_n$ будут определять окружности радиуса $r$
с «центрами» $A_0$, $A_1$, $\ldots$, $A_n$, которые, очевидно, удовлетворяют
условию задачи.
Поскольку сумма плоских углов выпуклого $n$-гранного угла с вершиной
$A_0$ меньше $360^\circ$:
$$
n\cdot60^\circ=\angle A_1A_0A_2+\angle A_2A_0A_3+\ldots+\angle A_nA_0A_1\lt
360^\circ,
$$
то $n\lt6$. Для $n=3$, 4 и 5 нетрудно построить нужные пирамиды.
Пусть $O$ — центр сферы. Высота пирамиды $h$ и длина её рёбер $2r$
находятся из следующих соображений: радиус $KA_1$ основания пирамиды — катет
$\triangle A_0KA_1$ и боковая сторона $\triangle A_1KA_2$, где $\angle
A_1KA_2 = \dfrac{2\pi}n$ (рис. 3, a, б),
$$
\sqrt{4r^2-h^2\sin^2\dfrac\pi n}=r.
$$
Из $\triangle A_0OA_1$ имеем $r=\dfrac h{2r}$. Отсюда
$h=2r^2$, $r=\sqrt{1-\dfrac1{4\sin^2\dfrac\pi n}}$. Таким образом,
$$
\begin{alignat*}{2}
\text{при}~n&=3\text{:}\quad&r&=\sqrt{\dfrac23}\quad\left(\sin\dfrac\pi3=\dfrac{\sqrt3}2\right);\\
\text{при}~n&=4\text{:}\quad&r&=\sqrt{\dfrac12}\quad\left(\sin\dfrac\pi4=\dfrac{\sqrt2}2\right);\\
\text{при}~n&=5\text{:}\quad&r&=\sqrt{\dfrac{5-\sqrt5}{10}}
\end{alignat*}
$$
(формулу $\sin\dfrac\pi5=\dfrac{\sqrt{10-2\sqrt5}}4$ можно
вывести из рисунка 4, с помощью которого строятся правильный
десятиугольник и правильный пятиугольник).
Зная $r$ и $h$, мы можем построить правильные пирамиды, которые в силу
приведённых соотношений будут удовлетворять всем нужным условиям:
все грани — равносторонние треугольники со стороной $2r$, радиус описанной
сферы — 1.
Построение пирамиды тесно связано с правильными многогранниками, грани
которых — треугольники. Таких многогранников всего три: тетраэдр, октаэдр
и икосаэдр (рис. 5), и если от каждого из этих многогранников отрезать
«верхушку» — все грани, примыкающие к одной вершине, — то получатся как раз такие три пирамиды, которыми мы занимались. Подробнее о правильных
многогранниках и о построении пятиугольника можно прочитать в прекрасной
книге Г. С. Коксетера «Введение в геометрию» («Наука», 1966,
гл. 10 «Пять платоновых тел» и гл. 11 «Золотое сечение и филлотаксис»).
Несколько иначе (без использования «центров на сфере») решил задачу ученик
10-го класса Сергей Макеев из г. Волоколамска.
Рис. 6.
Заметим ещё, что ограничение $n\ge3$ в условии задачи вполне можно было бы заменить на $n\ge2$. Соответствующее расположение трёх окружностей
$\gamma_0$, $\gamma_1$, $\gamma_2$ существует (рис. 6; «центры»
окружностей расположены в вершинах правильного треугольника, вписанного в большой круг), и для вычисления $r$, как это ни странно, годится та же формула, которую мы доказали для $3\le n\le5$
$$
r=\sqrt{1-\dfrac1{4\sin^2\dfrac\pi2}}=\dfrac{\sqrt3}2.
$$
