Задача М197‍‍‍

В прямоугольную таблицу из $m$‍‍ строк и $n$‍‍ столбцов записаны $mn$‍‍ произвольных положительных чисел. Найдём произведение чисел в каждом столбце и затем сумму $S$‍‍ всех $n$‍‍ таких произведений. Докажите, что если переставить числа в каждой строке в порядке возрастания, то сумма $S$‍‍ новой таблицы будет не меньше, чем в первоначальной. (На рисунке 1 приведён один пример ситуации, описанной в задаче; здесь $m=3$‍,‍ $n=4$‍.)‍

Решите эту задачу:

1. для $m=n=2$‍‍ (для таблицы $2\times2$‍);‍
2. для $m=2$‍‍ и произвольного $n$‍‍ (для таблицы из двух строк);
3. для любых натуральных $m$‍‍ и $n$‍.‍