Условие задачи (1972, № 11) Задача М175 // Квант. — 1972. — № 11. — Стр. 41; 1973. — № 8. — Стр. 62—64.
- Каждая сторона правильного треугольника разбита на
$m$ равных частей, и через точки деления проведены прямые, параллельные сторонам, разрезающие треугольник на$m^2$ маленьких треугольников. Среди вершин полученных треугольников нужно отметить$N$ вершин так, чтобы ни для каких двух отмеченных вершин$A$ и$B$ отрезок$AB$ не был параллелен ни одной из сторон (на рисунке 2$m=6$). Каково наибольшее возможное значение$N$ (при заданном$m$)? - Разделим каждое ребро тетраэдра на
$m$ равных частей, и через точки деления провёдем плоскости, параллельные граням. Среди вершин полученных многогранников отметим$N$ вершин так, чтобы никакие две отмеченные вершины не лежали на прямой, параллельной одной из граней. Каково наибольшее возможное$N$? - Среди целочисленных решений уравнения
$$
x_1 + x_2 + \ldots + x_k = m,
$$
удовлетворяющих условиям
$0 \le x_i \le m$ (для всех$i = 1$, $2$, $\ldots$, $k$), нужно выбрать$N$ решений так, чтобы ни в каких двух из выбранных решений никакое неизвестное$x_i$, не принимало одного и того же значения. Чему равно наибольшее возможное значение$N$? (Задачи а) и б) являются частным случаем задачи в) соответственно при$k = 2$ и$k = 3$.)
Изображения страниц
Решение задачи (1973, № 8) Задача М175 // Квант. — 1972. — № 11. — Стр. 41; 1973. — № 8. — Стр. 62—64.
Текстовое представление решения задачи находится в процессе подготовки. С графическим представлением можно ознакомиться в опубликованном номере