Крестьянин, подойдя к развилке двух дорог, расходящихся под углом в $60\degree$,
спросил: «Как пройти в село $NN$?» Ему ответили: «Иди по левой дороге до деревни $N$ — это в восьми верстах отсюда, — там увидишь, что направо под прямым углом отходит большая ровная дорога — это как раз дорога в $NN$. А можешь идти другим путём: сейчас по правой дороге; как выйдешь к железной дороге, — значит, половину пути прошёл; тут поверни налево и иди прямо по шпалам до самого $NN$». — «Ну, а какой путь короче-то будет?» — «Да всё равно, что так, что этак, никакой разницы». И пошёл крестьянин по правой дороге. Сколько вёрст ему придётся идти до $NN$? Больше десяти или меньше? А если идти от развилки до $NN$ напрямик? (Все дороги считаются прямыми.)
Пусть $A$ — развилка дорог, $B$ — деревня $N$, $C$ — село $NN$, $D$ —
точка, где правая дорога выходит на железнодорожное полотно. По условию
(расстояния измеряются в верстах) $AB=8$, $\angle A=60^\circ$, $AD=DC$,
$\angle B=90^\circ$, $AB+BC=2AD$. Пусть $AD=2x$, $DH\perp AB$ и $DK\perp BC$
(рис. 1). Тогда $AH=x$, $KD=BH=8-x$, $AB+BC=2AD=4x$, $BC=4x-8$,
$BK=DH=x\sqrt3$, $KC=|BC-NK|=|4x-8-x\sqrt3|$ и для выполнения всех условий
задачи необходимо и достаточно
выполнение равенства $CK^2+KD^2=AD^2$ или $$
(4x-8-x\sqrt3)^2+(8-x)^2=4x^2,
$$
где $8-x\gt0$ и $4x-8\gt0$, т. е. $2\lt x\lt 8$. После преобразования
получаем
$$
(2-\sqrt3)x^2-2(5-\sqrt3)x+16=0.
$$
Обозначим трёхчлен, стоящий в левой части, через $f(x)$. Нетрудно проверить,
что условиям $2\lt x\lt8$ удовлетворяет только меньший корень $x_0$
уравнения $f(x)=0$ (рис. 2). Его можно записать в виде
$$
x_0=\frac{5-\sqrt3-\sqrt{6\sqrt3-4}}{2-\sqrt3}=7+3\sqrt3-\sqrt{44+26\sqrt3}.
$$
Рис. 2
Крестьянину придётся пройти путь $4x_0$. Выяснить, больше это число 10 или меньше, проще прямо из уравнения. Поскольку
$f\left(\dfrac52\right)=\dfrac14(14-5\sqrt3)\gt0$, ясно, что $x_0\gt\dfrac52$, т. е. $4x\gt10$. Покажем, что расстояние $AC$ напрямик
меньше 10. Действительно, неравенство $\sqrt{8^2+(4x_0-8)^2}\lt10$ при $2\lt x_0\lt8$ эквивалентно таким: $(4x_0-8)^2\lt36$, $4x_0-8\lt6$,
$x_0\lt\dfrac72$. Так же как и выше, убеждаемся, что $f\left(\dfrac72\right)=\dfrac14(22-21\sqrt3)\lt0$, откуда $x_0\lt\dfrac72$
и, следовательно, $AB\lt 10$.
Решение этой задачи прислали нам М. Прегер из Томска, А. Михайлов из Экибастуза и другие читатели.
С. Берколайко (Белгородская область) нашёл короткое
доказательство того, что $AB+BC\gt 10$. В наших обозначениях оно выглядит
так: по теореме косинусов из треугольника $ABD$
$$
BD^2=4x_0^2+64-16x_0;
$$
с другой стороны, неравенство треугольника даёт
$$
BD\lt BC+CD=6x_0-8,
$$
откуда
$$
4x_0^2+64-16x_0\lt(6x_0-8)^2,\quad 2x_0^2-5x_0\gt0,
$$
и с учетом $2\lt x_0\lt8$ получаем $x_0\gt\dfrac52$. Более точное значение расстояния $AB+BC$, по утверждению автора этого письма, таково: $11{,}044\text{ версты}$.
Некоторые читатели неправильно поняли условие задачи и считали, что $\angle D=90^\circ$, т. е. что треугольник $ADC$ равнобедренный и прямоугольный. Это, конечно, неверно.
