Заметим, что для любого многочлена $p(x)$ с целыми коэффициентами и для любых двух целых чисел $a$ и $b$ разность $p(b)-p(a)$ делится на $b-a$, поскольку для любого натурального $m$ разность $b^m-a^m$ делится на $b-a$:
$$
b^m-a^m = (b-a)(b^{m-1} + b^{m-2}a + b^{m-3}a^2 + \ldots + ba^{m-2} + a^{m-1}).
$$
Если существуют четыре целых числа $c_1$, $c_2$, $c_3$ и $a$ такие, что $p(c_1)=p(c_2)=p(c_3)=1$ и $p(a)=0$, то $$
p(c_1)-p(a)=p(c_2)-p(a)=p(c_3)-p(a)=1,
$$
и поэтому каждое из чисел $c_1-a$, $c_2-a$, $c_3-a$ может равняться только $1$ или $-1$, значит, все эти числа не могут быть различными. Такое решение прислали А. Веселов из д. Волчиково Калининской обл., И. Супруненко из Минска и другие читатели.
Начало решения можно изложить несколько иначе, если знать, что такое деление
многочленов.
Разделим «углом» многочлен $p(x)$ на $x-a$, где $a$ — целый корень многочлена. Тогда
$p(x)=(x-a)\,q(x)$, где $q(x)$ — тоже многочлен с целыми коэффициентами. Действительно, поскольку старший коэффициент многочлена $x-a$ равен $1$, то, когда мы делим многочлен на $x-a$ уголком, все коэффициенты появляющихся при этом многочленов будут получаться из уже имеющихся только операциями сложения, вычитания и умножения, т. е. тоже будут целыми. Остаток равен нулю, поскольку $a$ — корень многочлена: $p(a)=0$. Таким образом,
$$
(a-c_1)\,q(c_1)=(a-c_2)\,q(c_2)=(a-c_3)\,q(c_3)=1,
$$
и дальше рассуждение продолжается, как в первом решении.
