Задача М1563‍‍‍

Докажите, что если числа $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_m$‍‍ отличны от нуля и для любого целого $k=0$‍,‍ 1, $\ldots$‍,‍ $n$‍‍ ($n\lt m-1$‍)‍ $$ a_1+a_2\cdot2^k+a_3\cdot3^k+\ldots+a_m\cdot m^k=0, $$ то в последовательности $a_1$‍,‍ $a_2$‍,‍ $\ldots$‍,‍ $a_m$‍‍ есть по крайней мере $n+1$‍‍ пара соседних чисел, имеющих разные знаки.