Задача М1518 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1995, № 5) Задача М1518 // Квант. — 1995. — № 5. — Стр. 21; 1996. — № 2. — Стр. 16.

Высоты тетраэдра пересекаются в одной точке. Докажите, что эта точка, основание одной из высот и три точки, делящие другие высоты в отношении $2:1$‍,‍ считая от вершин, лежат на одной сфере.

Д. Терёшин

Российская математическая олимпиада

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1996, № 2) Задача М1518 // Квант. — 1995. — № 5. — Стр. 21; 1996. — № 2. — Стр. 16.

Пусть $M$‍‍ — точка пересечения медиан треугольника $ABC$‍,‍ $P$‍‍ — точка пересечения высот тетраэдра, $AA_1$‍‍ — высота тетраэдра из вершины $A$‍.‍ $MA_2\parallel A_3A_1$‍‍ и $\dfrac{AA_2}{A_2A_1}=2:1$‍.‍ Угол $MA_2P$‍‍ — прямой, так что точка $A_2$‍‍ лежит на сфере с диаметром $MP$‍.‍ Аналогично рассматриваются остальные случаи.

Рисунок

Д. Терёшин

Открыть в номере

Метаданные Задача М1518 // Квант. — 1995. — № 5. — Стр. 21; 1996. — № 2. — Стр. 16.

Предмет

Математика

Условие

Терёшин Д. А.

Решение

Терёшин Д. А.

Номера

1995. — № 5. — Стр. 21 [условие]

1996. — № 2. — Стр. 16 [решение]

Описание

Задача М1518 // Квант. — 1995. — № 5. — Стр. 21; 1996. — № 2. — Стр. 16.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1518/