Задача М1488‍‍

а) Ответ: нет.

Предположим, что такая последовательность существует. Без ограничения общности можно считать, что соседние числа этой последовательности взаимно просты (убедитесь в этом).

Если $a^2+b^2=c^2$‍,‍ где $a$‍,‍ $b$‍,‍ $c$‍‍ — взаимно простые числа, то $c$‍‍ нечётно, а одно из чисел $a$‍‍ и $b$‍‍ делится на 2 (если $a$‍‍ и $b$‍‍ нечётны, то сумма их квадратов делится на 2, но не делится на 4). Поэтому, с одной стороны, все числа, начиная с третьего, должны быть нечётными, а, с другой стороны, среди них обязательно должны содержаться чётные числа.

б) Ответ: да.

Достаточно найти число $a$‍,‍ представимое двумя различными способами в виде произведения чисел разной чётности: $a=bc=mn$‍‍ так, что $0\lt b^2-c^2\lt2a\lt m^2-n^2$‍‍ и $m^2-n^2=k(b^2-c^2)$‍.‍ В этом случае последовательность $$ x=b^2-c^2,\quad y=2a,\quad kx,\quad ky,\quad k^2x,\quad\ldots $$ удовлетворяет условиям задачи.

Наименьшее число, разложимое двумя различными способами в произведение чётного и нечётного чисел, — число шесть: $6=3\cdot2=6\cdot1$‍.‍ Имеем $3^2-2^2=5\lt12\lt36-1$‍,‍ $35=7\cdot5$‍.‍

Получили последовательность: 5, 12, 35, 84, 245, $\ldots$‍‍