В случае неравнобедренного неостроугольного треугольника $\angle OIH\gt\dfrac\pi2$; в случае равнобедренного неостроугольного треугольника неравенство задачи очевидно. Пусть $A$ — произвольная вершина остроугольного треугольника. Легко показать, что биссектриса угла $A$ лежит между $AO$ и $AH$.
Пусть точки $O$, $I$, $H$ лежат на одной прямой (нетрудно показать, что такое расположение имеет место лишь в случае равнобедренного треугольника). Так как $I$ лежит между $O$ и $H$, $I\ne O$, $I\ne H$, то неравенство задачи очевидно.
Пусть точки $O$, $I$, $H$ не лежат на одной прямой. В этом случае $AOIH$, $BOIH$, $COIH$ — невырожденные четырёхугольники, среди которых ровно один невыпуклый. (В задаче М1384 показано, что невыпуклый четырёхугольник ровно один: отвечающий среднему по величине углу треугольника $ABC$.) Пусть, например, невыпуклым является четырёхугольник $BOIH$. Имеем $\angle OIH\gt\angle AIC\gt\dfrac\pi2$, откуда сразу следует неравенство задачи.
Замечание 1. Задача допускает также и алгебраическое решение.
Замечание 2. Длины отрезков $IO$ и $IH$ могут оказаться связанными любыми знаками неравенств. Это можно показать геометрически.
