Задача М1485‍‍

Докажем по индукции неравенство $$ (k-1)((x_1-x_3)x_2^k+(x_2-x_4)x_3^k+\ldots+(x_{n-1}-x_1)x_n^k+(x_n-x_2)x_1^k)\ge0. $$

При $n=3$‍‍ получаем $$ (k-1)((x_1-x_3)x_2^k+(x_2-x_1)x_3^k+(x_3-x_2)x_1^k)\ge0, $$ где $0\lt x_1\le x_2\le x_3$‍.‍

При $x_1=x_2$‍‍ или $x_2=x_3$‍‍ левая часть неравенства равна нулю. Пусть $x_1\le x_2\le x_3$‍,‍ $x_1\ne x_3$‍.‍ Положим $t=x_2$‍‍ и рассмотрим на отрезке $[x_1;x_3]$‍‍ функцию $$ f(t)=(k-1)((x_1-x_3)t^k+(t-x_1)x_3^k+(x_3-t)x_1^k). $$ Поскольку $f(x_1)=f(x_3)=0$‍,‍ а $f'(t)$‍‍ убывает, неравенство $f(t)\ge0$‍‍ справедливо при всех $t\in(x_1;x_3)$‍.‍

Действительно, пусть $f(x_0)\lt0$‍,‍ где $x_0$‍‍ — некоторая точка интервала $(x_1;x_3)$‍.‍ Тогда на интервале $(x_1;x_0)$‍‍ существует точка $x_0'$‍‍ такая, что $f'(x_0')\lt0$‍.‍ Аналогично на $(x_0;x_3)$‍‍ существует точка $x_0''$‍‍ такая, что $f'(x_0'')\gt0$‍.‍

Сделаем теперь индукционный переход.

Пусть натуральное число $n\ge3$‍‍ и пусть $0\lt x_1\le x_2\le\ldots\le x_n\le x_{n+1}$‍.‍ Требуется доказать неравенство $$ \textstyle(k-1)\sum\limits_{i=1}^{n+1}{}(x_i-x_{i+2})x_{i+1}^k\ge0 $$ ($x_{n+2}=x_1$‍,‍ $x_{n+3}=x_2$‍).‍

По предположению индукции, $$ (k-1)\textstyle\sum\limits_{i=1}^{n}{}(x_i-x_{i+2})x_{i+1}^k\ge0 $$ ($x_{n+1}=x_1$‍,‍ $x_{n+2}=x_2$‍).‍

Тем самым достаточно доказать неравенство $$ (k-1)((x_{n-1}-x_{n+1})x_n^k+(x_n-x_1)x_{n+1}^k+(x_{n+1}-x_2)x_1^k-(x_{n-1}-x_1)x_n^k-(x_n-x_2)x_1^k)\ge0. $$ Перепишем его: $$ (k-1)((x_1-x_{n+1})x_n^k+(x_{n+1}-x_n)x_1^k+(x_n-x_1)x_{n+1}^k)\ge0. $$ Осталось заметить, что это неравенство совпадает, с точностью до обозначений, с уже доказанным выше (для случая $n=3$‍).‍

Неравенство задачи доказано.