Задача М1479‍‍‍

Пусть выбрано $k$‍‍ четвёрок различных натуральных чисел, в сумме дающих $n$‍.‍ Обозначим через $s$‍‍ сумму всех $4k$‍‍ чисел, входящих в эти четвёрки. Тогда, с одной стороны, $s=nk$‍,‍ а с другой стороны, $$ s\ge1+2+\ldots+4k=2k(4k+1). $$ Поэтому $nk\ge2k(4k+1)$‍,‍ откуда $k\le\dfrac{n-2}8$‍.‍

Осталось привести набор $\left[\dfrac{n-2}8\right]$‍‍ четвёрок чисел, удовлетворяющий условиям задачи. Обозначим число $\left[\dfrac{n-2}8\right]$‍‍ через $a$‍‍ и пусть $n=8a+2+t$‍,‍ где $t=0$‍,‍ 1, 2, $\ldots$‍,‍ 7. Рассмотрим следующую таблицу чисел: $$ \begin{array}{cccccc} 1&2&3&\ldots&a-1&a\\ 2a&2a-1&2a-2&\ldots&a+2&a+1\\ 2a+1&2a+2&2a+3&\ldots&3a-1&3a\\ 4a+t&4a+t-1&4a+t-2&\ldots&3a+t+2&3a+t+1\\[-6pt]\\ \end{array} $$ Числа, стоящие в первом столбце, образуют первую четвёрку чисел, стоящие во втором — вторую четвёрку чисел, и т. д.