Задача М1453 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1994, № 5) Задача М1453 // Квант. — 1994. — № 5. — Стр. 26; 1995. — № 2. — Стр. 24.

Существует ли квадратный трёхчлен $p(x)$‍‍ с целыми коэффициентами такой, что для любого натурального числа $n$‍,‍ в десятичной записи которого участвуют одни единицы, число $p(n)$‍‍ также записывается одними единицами?

А. Перлин

Российская математическая олимпиада (XX)

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1995, № 2) Задача М1453 // Квант. — 1994. — № 5. — Стр. 26; 1995. — № 2. — Стр. 24.

Ответ: существует.

Рассмотрим квадратный трёхчлен $$ P(x)=x(9x+2). $$

Если $n=\underbrace{11\ldots1}_{k}$‍,‍ то $9n+2=1\underbrace{00\ldots0}_{k-1}1$‍‍ .

Следовательно, $P(n)=\underbrace{11\ldots11}_{k}\cdot1\underbrace{00\ldots0}_{k-1}1 =\underbrace{11\ldots11}_{2k}.$‍‍

Значит, этот квадратный трёхчлен удовлетворяет условию.

А. Перлин

Открыть в номере

Метаданные Задача М1453 // Квант. — 1994. — № 5. — Стр. 26; 1995. — № 2. — Стр. 24.

Предмет

Математика

Условие

Перлин А.

Решение

Перлин А.

Номера

1994. — № 5. — Стр. 26 [условие]

1995. — № 2. — Стр. 24 [решение]

Описание

Задача М1453 // Квант. — 1994. — № 5. — Стр. 26; 1995. — № 2. — Стр. 24.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1453/