Ответ: да. Примером может служить многочлен
$$
P_\varepsilon(x)=1+x-\varepsilon x^2+x^3+x^4
$$
при достаточно малом положительном $\varepsilon$.
В самом деле, легко проверить, что при $\varepsilon=0$ коэффициенты $P_0^2(x)$ и $P_0^3(x)$ все — целые положительные числа: эти коэффициенты равны последовательным цифрам чисел $11011^2=121242121$ и $11011^3=1334996994331$ (многочлены перемножаются «столбиком» так же, как многозначные числа). Коэффициенты $P_\varepsilon^2(x)$ и $P_\varepsilon^3(x)$ при $\varepsilon\to 0$ стремятся к коэффициентам $P_0^2(x)$ и $P_0^3(x)$, и значит, при достаточно малом $\varepsilon\lt \varepsilon_0$
все они положительны. Но любую степень $P_\varepsilon^n(x)$ можно получить как произведение нескольких $P_\varepsilon^2(x)$
и — при нечётном $n\gt 3$ — ещё одного $P_\varepsilon^3(x)$,
так что при $\varepsilon\lt \varepsilon_0$ и $n\gt 1$
коэффициенты $P_\varepsilon^n(x)$ положительны.
