Задача М1432‍‍

Достаточно доказать следующее более сильное утверждение: в последовательности $b_n$‍‍ каждое число отличается от предыдущего не менее чем на 1, т. е. $b_{n+1}\ge b_n+1$‍.‍ Обозначим $$ a=a_1+\ldots+a_n,\qquad c=\dfrac1{a_1}+\ldots+\dfrac1{a_n}. $$

Докажем, что $$ \sqrt{(a+x)\left(c+\dfrac1x\right)}\ge\sqrt{ac}+1 \tag{*} $$ при $x\gt0$‍.‍ Очевидно, $\dfrac ax+cx\ge2\sqrt{ac}$‍.‍ Поэтому $$ (a+x)\left(c+\dfrac1x\right)\ge(ac+1)+2\sqrt{ac}=(\sqrt{ac}+1)^2, $$ откуда и следует (*).