Задача М1430‍‍

а) Из условия следует, что $a_3=3+t$‍,‍ где $t\ge0$‍.‍ Докажем, что $t=0$‍.‍ Поскольку $a_6=a_2a_3=6+2t$‍,‍ имеем $a_5\le5+2t$‍.‍ Далее, $a_{10}=a_2a_5\le10+4t$‍.‍ Следовательно, $a_9\le9+4t$‍,‍ $a_{18}=a_2a_9\le18+8t$‍,‍ $a_{15}\le15+8t$‍.‍ Но $a_5\ge2+a_3=5+t$‍,‍ $a_{15}=a_3a_5\ge(3+t)(5+t).$‍‍

Получили: $15+8t\ge(3+t)(5+t)=15+8t+t^2,$‍‍ т. е. $t^2\le0$‍,‍ и значит $t=0$‍,‍ $a_3=3$‍.‍

б) Докажем утверждение по индукции. Пусть оно справедливо при всех $i\le n$‍,‍ где $n\ge3$‍.‍ Достаточно доказать, что утверждение справедливо при всех $i\le n(n-1)$‍.‍ Поскольку числа $n$‍‍ и $n-1$‍‍ взаимно просты, то $a_{n(n-1)}=n(n-1),$‍‍ но так как последовательность $a_i$‍‍ — строго возрастающая, то $a_i=i$‍‍ при всех $i\le n(n-1)$‍.‍