Задача М1415‍‍

Рассмотрим окружность, разбитую на 99 одинаковых дуг. Среди концов этих дуг отметим 10 точек, разбивающих окружность на 10 дуг, длины которых совпадают с десятью числами на первом 10-угольнике (порядок также сохраняется). Аналогичным образом построим вторую окружность, «моделирующую» второй 10-угольник. Наложим теперь вторую окружность на первую так, чтобы точки деления совпадали, и рассмотрим 99 поворотов на углы, кратные $\dfrac{2\pi}{99}$‍.‍ Если бы после каждого поворота не более одной отмеченной точки на первой окружности совпадало с отмеченной точкой на второй окружности, то суммарно мы получили бы не более 99 совпадений, что невозможно, так как всего их, очевидно, должно быть ровно 100. Значит, при каком-то наложении первой окружности на вторую есть два совпадения отмеченных точек. Длины дуг между ними на обеих окружностях равны, а это и есть нужные нам суммы нескольких чисел подряд.