Задача М1413‍‍

Что касается б), это — задача-шутка: если $\dfrac45$‍‍ всех жителей лжецы и большинство говорит, что победил Ёлкин, то, конечно, победил Палкин.

Определённого ответа на вопрос а), исходя из данных в условии, дать нельзя. Пусть $T=T_{\text{Ё}}+T_{\text{П}}$‍‍ — процент правдивых среди всех жителей (из них $T_{\text{Ё}}$‍‍ голосовали за Ёлкина, $T_{\text{П}}$‍‍ — за Палкина), $F=F_{\text{Ё}}+F_{\text{П}}$‍‍ — процент лжецов (из них $F_{\text{Ё}}$‍‍ — за Ёлкина, $F_{\text{П}}$‍‍ — за Палкина). Поскольку ответ «за Палкина» на первый вопрос дало большинство, значит $$ T_{\text{Ё}}+F_{\text{П}}\lt T_{\text{П}}+F_{\text{Ё}}. \tag{1} $$ Если президентом стал Палкин (а ответ на второй вопрос — «Ёлкин»), то $$ T_{\text{Ё}}+F_{\text{Ё}}\lt T_{\text{П}}+F_{\text{П}} \tag{2} $$ и $$ T_{\text{Ё}}+T_{\text{П}}\lt F_{\text{Ё}}+F_{\text{П}}; \tag{3} $$ а если президентом стал Ёлкин, то знак неравенства в (2) и (3) противоположный. Нетрудно привести примеры, когда осуществляются и та, и другая ситуации, причём $T_{\text{П}}$‍‍ больше 25 (и конечно, $T+F=100$‍):‍ если в качестве четвёрки $(T_{\text{Ё}},T_{\text{П}},F_{\text{Ё}},F_{\text{П}})$‍‍ взять (10, 30, 30, 30) — победил Палкин, если (30, 30, 30, 10) — Ёлкин.

С этой задачей произошло недоразумение: на самом деле в формулировке задачи M1411а) в отмеченном знаком [ ] месте должны были стоять слова «и голосовавших за проигравшего кандидата». (Именно в таком виде эта задача, как и четыре следующие, предлагалась на Петербургской математической олимпиаде прошлого года.) Тогда ответ в ней становится однозначным: президентом стал Ёлкин. В противном случае сложение неравенств (1), (2), (3) и равенства $$ T_{\text{Ё}}+T_{\text{П}}+F_{\text{Ё}}+F_{\text{П}}=100 $$ даёт $T_{\text{Ё}}\lt25$‍.‍ Противоречие.

Если же в пункте б) вставить в отмеченном знаком [ ] месте слова «и голосовавших за проигравшего кандидата», то ответ будет отрицательным. Скажем, в примере (20, 25, 27, 28) побеждает Палкин, в примере (35, 20, 35, 10) — Ёлкин.