Задача М14‍‍

Начнём с задачи б). Предположим, что в многогранник можно вписать шар. Отметим на каждой грани точку касания с шаром и проведём из неё отрезки к вершинам этой грани. Тогда грань разобьётся на треугольники. К каждому ребру многогранника примыкает два таких треугольника, лежащих в смежных гранях. Они равны по трём сторонам (поскольку две касательные, проведённые из одной точки к шару, равны). По условию к каждому ребру примыкает не более одной чёрной грани. Таким образом, к каждому чёрному треугольнику примыкает равный ему белый‍. Следовательно, сумма площадей чёрных граней не больше суммы площадей белых граней. Задача б) решена.

Точно так же решается и задача а), о которой уже шла речь в статье «Невписываемые многогранники» Е. М. Андреева (см. «Квант» № 8, задача 9 в конце статьи). В этой статье разобран целый ряд вопросов, которые возникают в связи с нашей задачей: бывают ли многогранники, удовлетворяющие подобным условиям, какие ещё существуют «признаки неописываемости» и т. п. Правда, как можно судить по названию статьи, в ней речь идёт о том, можно ли тот или иной многогранник вписать в сферу, а в нашей задаче — можно ли его описать около сферы. Оказывается, однако, что обе теории совершенно аналогичны.

Более точно, каждому выпуклому вписанному многограннику можно поставить в соответствие описанный так, что при этом каждой вершине, ребру, грани вписанного многогранника сопоставляется соответственно грань, ребро, вершина описанного. Делается это так. В каждой вершине многогранника, вписанного в сферу, проводится касательная плоскость. Заметьте, что если вершины принадлежали одной грани, то соответствующие им плоскости будут пересекаться в одной точке — вершине нового многогранника, соответствующей грани исходного вписанного. Если две вершины вписанного многогранника соединены ребром, то соответствующие касательные плоскости будут пересекаться по ребру описанного многогранника. Тем самым мы построили отображение множества вписанных многогранников в множество описанных; легко видеть, что это отображение на всё множество описанных многогранников и что у него есть обратное отображение (мы пользуемся терминологией, о которой говорилось в статье А. Н. Колмогорова «Что такое функция» в «Кванте» № 1), — другими словами, что каждому описанному многограннику можно сопоставить вписанный, из которого этот описанный получается указанным выше способом. Достаточно в каждой грани отметить точку касания — вершину будущего вписанного многогранника — и доказать, что все точки касания граней, имеющих общую вершину, лежат в одной плоскости (рис. 6). Оба эти отображения, связывающие множество выпуклых вписанных и описанных многогранников, составляют прекрасный пример ситуации, которую математики обычно называют словом «двойственность» (это слово мельком упоминалось в статье Е. М. Андреева). Подумайте, какие описанные многогранники будут двойственны таким вписанным: куб, правильная $n$‍‍-угольная призма, правильная $n$‍‍-угольная пирамида, правильная усечённая пирамида, додекаэдр.

Мы очень рекомендуем читателям вернуться к статье «Невписываемые многогранники» и, пользуясь двойственностью, о которой мы сейчас говорили, перенести её содержание на «неописываемые» многогранники.