Задача М1341‍‍

Легко видеть, что $$ a_k= \sqrt{m+\sqrt{n+\sqrt{m+\ldots}}}\gt b_k= \sqrt{m+\sqrt{n+\sqrt{n+\ldots}}}, $$ а $$ c_k= \sqrt{n+\sqrt{m+\sqrt{m+\ldots}}}\gt d_k= \sqrt{n+\sqrt{m+\sqrt{n+\sqrt{m+\ldots}}}}. $$ Докажем, что $b_k\gt c_k$‍,‍ т. е. пункт б) задачи (отсюда, конечно, будет следовать и пункт а)).

Пусть $x_1=\sqrt{n}$‍,‍ $x_{k+1}=\sqrt{n+x_k}$‍,‍ $y_1=\sqrt{m}$‍,‍ $y_{k+1}=\sqrt{m+y_k}$‍.‍ Докажем неравенство $m+x_k\gt n+y_k$‍.‍

Для этого применим метод индукции. При $k=1$‍‍ неравенство очевидно. Пусть $m-n\gt y_k-x_k$‍.‍ Тогда $$ y_{k+1}-x_{k+1} =\dfrac{m-n+y_k-x_k}{y_{k+1}+x_{k+1}} \lt\dfrac{2(m-n)}{y_{k+1}+x_{k+1}} \lt m-n, $$ что и требовалось.