Задача М1326‍‍

Докажем, что если $a_k$‍‍ оканчивается $l$‍‍ девятками, т. е. имеет вид $a_k=a\cdot10^l-1$‍,‍ где $a$‍‍ — натуральное число, то $a_{k+1}$‍‍ оканчивается не меньше чем $2l$‍‍ девятками.

В самом деле, $$ a_{k+1}=3(a\cdot10^l-1)^4+4(a\cdot10^l-1)^3. $$ Раскрывая скобки и приводя подобные члены, получим $$ a_{k+1}=14\cdot10^{2l}-12a\cdot10^l+3+N\cdot10^{2l}+12a\cdot10^l-4=P\cdot10^{2l}-1, $$ откуда видно, что последние $2l$‍‍ цифр числа $a_{k+1}$‍‍ — девятки. Поскольку $a_1=9$‍,‍ число $a_{10}$‍‍ оканчивается не меньше чем на $2^{10}\gt1000$‍‍ девяток.