Задача М1299 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1991, № 8) Задача М1299 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 23.

На доске выписаны $n$‍‍ чисел. Разрешается стереть любые два из них, скажем $a$‍‍ и $b$‍,‍ и вместо них записать одно число $\dfrac{a+b}4$‍.‍ Эта операция повторяется $n-1$‍‍ раз, и в результате на доске остаётся одно число. Докажите, что если на доске первоначально были выписаны $n$‍‍ единиц, то в результате всех операций на доске останется число не меньшее, чем $\dfrac1n$‍.‍

Б. Берлов

Всесоюзная математическая олимпиада (XXV, 1991 год)

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1992, № 2) Задача М1299 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 23.

Из почти очевидного неравенства $$ \dfrac1a+\dfrac1b\ge\dfrac4{a+b}\quad (a\gt0,b\gt0) $$ следует, что сумма $S$‍‍ обратных величин чисел, записанных на доске, не увеличивается. Вначале она была равна $n$‍.‍ Поэтому в конце процесса $S\le n$‍.‍ Но это и значит, что последнее записанное число $\dfrac1S\ge\dfrac1n$‍.‍

Б. Берлов

Открыть в номере

Метаданные Задача М1299 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 23.

Предмет

Математика

Условие

Берлов Б.

Решение

Берлов Б.

Номера

1991. — № 8. — Стр. 22 [условие]

1992. — № 2. — Стр. 23 [решение]

Описание

Задача М1299 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 23.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1299/