Задача М1297 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1991, № 8) Задача М1297 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 22.

Числа $\alpha$‍‍ и $\beta$‍‍ удовлетворяют равенствам $$\begin{gather*} \alpha^3-3\alpha^2+5\alpha=1,\\ \beta^3-3\beta^2+5\beta=5. \end{gather*}$$ Найдите $\alpha+\beta$‍.‍

Б. Кукушкин

Всесоюзная математическая олимпиада (XXV, 1991 год)

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1992, № 2) Задача М1297 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 22.

Ответ: $\alpha+\beta=2$‍.‍

Пусть $$ f(x)=x^3-3x^2+5x=(x-1)^3+2(x-1)+3. $$ Функция $g(y)=y^3+2y$‍‍ — возрастающая и нечётная. Из равенств $g(\alpha-1)=f(\alpha)-3=-2$‍‍ и $g(\beta-1)=f(\beta)-3=2$‍‍ следует, что $\alpha-1=-(\beta-1)$‍.‍ Поэтому $\alpha+\beta=2$‍.‍

Б. Кукушкин

Открыть в номере

Метаданные Задача М1297 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 22.

Предмет

Математика

Условие

Кукушкин Б.

Решение

Кукушкин Б.

Номера

1991. — № 8. — Стр. 22 [условие]

1992. — № 2. — Стр. 22 [решение]

Описание

Задача М1297 // Квант. — 1991. — № 8. — Стр. 22; 1992. — № 2. — Стр. 22.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1297/