Задача М1292 / Задачи // Архив журнала «Квант»

Условие задачи (1991, № 7) Задача М1292 // Квант. — 1991. — № 7. — Стр. 26; 1992. — № 1. — Стр. 21.

Совет из 2000 депутатов решил утвердить государственный бюджет, содержащий 200 статей расходов. Каждый депутат подготовил свой проект бюджета, в котором указал по каждой статье максимально допустимую, по его мнению, величину расходов, так, чтобы общая сумма расходов не превысила заданную величину $S$‍.‍ По каждой статье совет утверждает наибольшую величину расходов, которую согласны выделить не менее $k$‍‍ депутатов. При каком наименьшем $k$‍‍ можно гарантировать, что общая сумма утверждённых расходов не превысит $S$‍?‍

И. Н. Сергеев

Открыть в номере

Изображения страниц

‍

Скачать PDF

Решение задачи (1992, № 1) Задача М1292 // Квант. — 1991. — № 7. — Стр. 26; 1992. — № 1. — Стр. 21.

Ответ: $k=1991$‍.‍

Если $k\le1990$‍,‍ может случиться, что первые 10 депутатов предложат ничего не выделять по первой статье расходов, а по остальным выделить по $\dfrac{S}{199}$‍.‍ Следующие 10 депутатов ничего не выделят по второй статье и выделят по $\dfrac{S}{199}$‍‍ по остальным и так далее. В результате по каждой статье будет утверждена сумма расходов в $\dfrac{S}{199}$‍,‍ а по всем двухстам статьям $\dfrac{200}{199}S\gt S$‍.‍

Если $k=1991$‍,‍ то после утверждения расходов по всем статьям окажется, что лишь менее 10 депутатов могли предложить величину расходов, меньшую утверждённой. Поэтому найдётся депутат, который по всем статьям предложил величину расходов, не меньшую утверждённой. Но сумма предложенных им расходов не больше $S$‍,‍ а, значит, и утверждённая сумма тоже.

И. Н. Сергеев

Открыть в номере

Метаданные Задача М1292 // Квант. — 1991. — № 7. — Стр. 26; 1992. — № 1. — Стр. 21.

Предмет

Математика

Условие

Сергеев И. Н.

Решение

Сергеев И. Н.

Номера

1991. — № 7. — Стр. 26 [условие]

1992. — № 1. — Стр. 21 [решение]

Описание

Задача М1292 // Квант. — 1991. — № 7. — Стр. 26; 1992. — № 1. — Стр. 21.

Ссылка

https://www.kvant.digital/problems/m1292/