Задача М1277‍‍

Как следует из неравенства $x^2+y^2 \ge 2xy$‍‍ (неравенства между средним арифметическим и средним геометрическим двух чисел $x^2$‍‍ и $y^2$‍),‍ левая часть доказываемого неравенства не меньше $$ \sqrt{2} \left( \sqrt[4]{\dfrac{a_1a_2}{a_3^2}} + \sqrt[4]{\dfrac{a_2a_3}{a_4^2}} + \ldots + \sqrt[4]{\dfrac{a_{n-1}a_n}{a_1^2}} + \sqrt[4]{\dfrac{a_na_1}{a_2^2}} \right). $$ Поскольку произведение $n$‍‍ корней, стоящих в скобках, равно 1, по теореме Коши о среднем арифметическом и среднем геометрическом для $n$‍‍ чисел (эта теорема подробно обсуждалась в третьем номере журнала за этот год) их сумма не меньше $n$‍.‍ Отсюда и следует нужное неравенство.