Если сближать два числа $u$, $v$ ($0\lt u \lt v <1$) так, чтобы их сумма оставалась постоянной, то произведение
$$
uv=\dfrac{(u+v)^2}{4}-\dfrac{(u-v)^2}{4}
$$
увеличивается, a произведение
$$
\left( \dfrac{1}{u^2}-1\right) \left(\dfrac{1}{v^2}-1\right) =\dfrac{1-u^2-v^2+u^2v^2}{u^2v^2}=\dfrac{1-(u+v)^2}{u^2v^2}+\dfrac{2}{uv}+1
$$
уменьшается. Из $n$ чисел с суммой 1, среди которых не все равны $\dfrac1n$, найдётся число $u$, меньшее $\dfrac1n$, и число $v$, большее $\dfrac1n$ (подобное соображение играло ключевую роль в «самом коротком доказательстве теоремы Коши», см. статью Ю. П. Соловьёва в «Кванте» № 3 за этот год). Будем сближать $u$ и $v$, сохраняя сумму, до тех пор, пока одно из них не станет равным $\dfrac1n$; при этом произведение
$$
P=\left(\dfrac{1}{a_1^2}-1\right) \times \ldots \times \left(\dfrac{1}{a_n^2}-1\right)
$$
будет уменьшаться. Если в полученном наборе ещё не все числа равны $\dfrac1n$, можно повторить эту процедуру с другой парой чисел и поступать так до тех пор, пока все числа не станут равны $\dfrac1n$; при этом $P$ станет равным $(n^2-1)^n$. Тем самым, первоначально произведение $P$ было не меньше этой величины.
