Пусть $AMNB$ — искомая трапеция и $NP$ — её высота. Так как трапеция вписана в окружность, то её боковые стороны равны. Но трапеция является и описанной, поэтому каждая из её боковых сторон равняется полусумме оснований, т. е. отрезку $AP$. Из подобия треугольников $ANB$ и $NPB$ (рис. 1) следует равенство
$$
AP^2=NB^2=AB\cdot BP, \tag{*}
$$
т. е. точка $P$ делит отрезок $AB$, как говорят, «в крайнем и среднем отношении». Построение такой точки можно выполнить следующим образом: восставим к $AB$ перпендикуляр $BD=\dfrac{1}{2}AB$ (рис. 2), отложим на отрезке $AD$ отрезок $DE=DB$, a на $AB$ отрезок $AP=AE$. Если $AB=2$, то, как легко проверить, $AP=\sqrt{5}-1$ и для точки $P$ выполнено соотношение (*).
Рисунок номер 1
Рисунок номер 2
Затем можно, восставив перпендикуляр $PN$ в точке $P$ к отрезку $AB$ до пересечения с полуокружностью, построить искомую равнобочную трапецию $AMNB$ и доказать (используя подобие треугольников), что её боковая сторона равна $AP$, т. е. полусумме оснований, следовательно, она описанная.
Ещё один из многих возможных способов построения трапеции основан на идее, изложенной в статье «Правильные многогранники и повороты» («Квант» № 10, 1989). Строим квадрат $ABCD$, проводим через его вершины $C$ и $D$ дугу окружности с центром в точке $O$ — середине стороны $AB$ (рис. 3). Восставим из точки $O$ перпендикуляр к $AB$, его отрезок $x$ (он равен $\sqrt{5}-2$) между квадратом и построенной дугой окружности отложим от точки $O$ влево и вправо по отрезку $AB$. Полученные точки $Q$ и $P$ — проекции вершин $M$ и $N$ трапеции на основание $AB$.
Рисунок номер 3
