Внутри круга радиусом 1990 с центром в начале координат отмечено 555 точек с целыми координатами, никакие три из которых не лежат на одной прямой. Докажите, что найдутся два треугольника равной площади с вершинами в этих точках.
Площадь треугольника с вершинами в целых точках — целое или полуцелое число (т. е. число вида $\dfrac n2$, где $n$ — целое). Это легко увидеть, заключив треугольник в наименьший прямоугольник с вершинами в целых точках и сторонами, параллельными осям: на рисунке площадь розового треугольника равна разности целого числа — площади прямоугольника — и трёх полуцелых чисел — площадей прямоугольных треугольников у его вершин. (Это сразу следует также из формулы Пика, см. «Калейдоскоп «Кванта» в этом номере журнала.) Поскольку площадь треугольника не больше площади круга $\pi\cdot1990^2\lt12{,}6\cdot10^6$, она принимает не более $25{,}2\cdot10^6$ различных значений. С другой стороны, количество различных (неупорядоченных) троек из 555 точек равно $\dfrac{555\cdot554\cdot553}6\gt25{,}2\cdot10^6$; таким образом, найдутся два треугольника с равной площадью. Можно получить и более точную оценку. Можно показать, что площадь треугольника с вершинами внутри круга будет не больше площади равностороннего треугольника, вписанного в круг, т. е. не больше $\dfrac{3\sqrt3}4\cdot1990^2$, а эта величина меньше удвоенного числа троек $\dfrac{n(n-1)(n-2)}{3}$ уже при $n=397$, так что уже из 397 точек общего положения всегда можно выбрать два треугольника с равной площадью.
