Задача М1264‍‍‍

Ответ: нельзя. Мы докажем это, пользуясь идеей, часто встречающейся при решении подобных задач. Раскрасим клетчатую плоскость в два цвета (скажем, красный и голубой) так, чтобы любой квадрат $3\times3$‍‍ и $4\times4$‍‍ клетки содержал чётное число красных клеток, в некоторый квадрат $2\times2$‍‍ — нечётное их число.

Из существования такой раскраски сразу следует нужное утверждение: ведь после любых операций, указанных в задаче, чёрными станет лишь чётное число красных клеток. А если бы лишь один (можно считать — тот самый, с нечётным числом красных клеток) квадрат $2\times2$‍‍ стал чёрным, это бы означало, что чёрными стали нечётное число красных клеток.

Но придумать нужную раскраску не так просто. Мы приведём пример нужной периодической раскраски с периодом 6: в каждом квадрате $6\times6$‍,‍ на которые разбита плоскость двумя рядами прямых, раскраска получается параллельным переносом квадрата, показанного на рисунке.