На плоскости задана точка $O$ и $n$ векторов, сумма которых равна $\overrightarrow{0}$. Докажите, что можно отложить эти векторы, начав в точке $O$, друг за другом в таком порядке, что полученная замкнутая (быть может, самопересекающаяся) ломаная будет целиком расположена внутри или на границе некоторого угла в $60^\circ$ с вершиной в точке $O$.
С. Августович, С. Севастьянов
Всесоюзная математическая олимпиада (XXIV, 1990 год)
Занумеруем данные векторы $\overrightarrow{a_1}$, $\overrightarrow{a_2}$, $\ldots$, $\overrightarrow{a_n}$ (рис. 1) так, чтобы многоугольник $A_0A_1\ldots A_{n-1}$ оказался выпуклым (это можно сделать, поскольку сумма векторов равна нулю). Рассмотрим всевозможные треугольники, вершины которых совпадают с вершинами этого многоугольника, и выберем из них треугольник наибольшей площади. Пусть это треугольник $ABC$. Через вершины треугольника $ABC$ проведём прямые, параллельные его противоположным сторонам, и рассмотрим треугольник $A'B'C'$ (рис. 2). Многоугольник $A_0A_1\ldots A_{n-1}$ целиком содержится в треугольнике $A'B'C'$ (иначе, подвинув какую-нибудь из его сторон, мы смогли бы увеличить его площадь). Участок ломаной от вершины $A$ до вершины $B$ соединится внутри треугольника $AC'B$. Симметрично отразив его относительно середины отрезка $AB$, мы получим такой же участок, лежащий внутри треугольника $ABC$. Аналогично поступаем с ломаными от $B$ до $C$ и от $C$ до $A$. Расставив нужным образом стрелки, мы получим замкнутую ломаную, целиком содержащуюся в треугольнике $ABC$ и образованную данными векторами. Поскольку один из углов треугольника $ABC$ не больше $60^\circ$, осталось совместить соответствующую вершину с точкой $O$ параллельным переносом.
