а) Предположим, что $4^m+5=q^2$, где $q$ — натуральное число. Тогда $(q+2^m)(q-2^m)=5$. Поэтому $q+2^m=5$, $q-2^m=1$, откуда $q=3$, $2^m=2$, т. е. $m=1$. Таким образом, число $4^m+5$ может быть квадратом лишь при $m=1$.
б) Число $8^m+9$ — нечётное. Предположим, что $8^m+9=(2p+1)^2$, где $p$ — натуральное число. Тогда $8^m=(2p+1)^2-3^2=(2p-2)(2p+4),$ откуда
$$
2^{3m-2}=(p-1)(p+2).
$$
Поскольку числа $p-1$ и $p+2$ разной чётности, это возможно лишь при $p-1=1$, $p=2$, но тогда $p+2=4$ и $3m-2=2$, что невозможно при целом $m$.
в) Здесь при чётном $m$ работает та же идея, что и в пункте a): число $N=a^m+a+1$ находится слишком близко к $a^m$; а при нечётном $m$, как и в пункте б), достаточно разобраться с остатками при делении на степени двойки.
Пусть сначала $m=2r$. Тогда
$$
a^{2r}\lt a^{2r}+a+1\lt a^{2r}+2a^r+1=(a^r+1)^2,
$$
т. е. $a^{2r}+a+1$ — не квадрат.
Остатки при делении на 4 (при нечётном $m\gt1$)
$\begin{array}{c|c|c}
\hline\\[-6pt]
a&a^m&N{=}a^m{+}a{+}1\\\\[-6pt]
\hline\\[-6pt]
1&1&3\\
2&0&3\\
3&3&3\\\\[-6pt]
\hline
\end{array}$
Пусть теперь $m=2r+1$. Тогда, рассматривая различные возможные остатки 1, 2, 3 при делении $a$ на $4$, убеждаемся, что $N$ даёт при делении на 4 остаток 3 (см. табличку на полях), а при $a=8k+4$ число $N=(8k+4)^m+8k+4+1$ даёт остаток 5 при делении на 8.
Но квадрат может давать при делении на 8 лишь остатки 0, 1 или 4. В самом деле, при целом $k$
$$
\begin{alignedat}{2}
(4k\pm1)^2&=16k^2\pm8k+1,&\quad(4k\pm2)^2&=16k^2\pm8k+4,\\
(4k\pm3)^2&=16k^2\pm24k+1,&(4k)^2&=16k^2.
\end{alignedat}
$$
Заметим, что при $a$, кратном 8, утверждение задачи не всегда верно: например, при $a=72$ и $m=3$ число $a^m+a+1=611^2$. (Из общих теорем алгебраической геометрии следует, что при каждом $m\gt3$ уравнение $x^m+x+1=y^2$ имеет лишь конечное число решений в целых числах.)
