Пусть турнир нелогичный. Найдутся два игрока $A$ и $B$ такие, что $A$ набрал не больше очков, чем $B$, но выиграл у $B$ в личной встрече. Тогда найдётся игрок $C$ такой, что $A$ сыграл с $C$ хуже, чем $B$ с $C$ (иначе со всеми $n-2$ игроками, кроме $A$ и $B$, $A$ набрал бы не меньше очков, чем $B$). Изменим турнирную таблицу следующим образом: партию $A$ с $B$ заменим ничьей, результат игры $A$ с $C$ увеличим на $\dfrac12$, а $B$ с $C$ — уменьшим на $\dfrac12$. При этом итог — сумма, набранная каждым игроком, — не изменится, а общее число ничьих увеличится.
Теперь из всех турниров с данным итогом выберём такой, в котором число ничьих наибольшее. В нём уже нельзя найти пару $A$, $B$ игроков, нарушающих «логичность», так что этот турнир удовлетворяет требуемым условиям.
В связи с этой задачей естественно возникает вопрос: какие строчки $(x_1,x_2,\ldots,x_n)$ неотрицательных чисел могут быть итоговыми для турнира с $n$ участниками? Попробуйте найти необходимые и достаточные условия.
