Пусть $S$, $c$, $b$ — площадь произвольной кляксы и длины её проекции на горизонтальную и вертикальную стороны листа. Тогда $S\le cb$; кроме того, $S=1$ по условию. Следовательно, $S\le\sqrt{S}\le\sqrt{cb}\le\dfrac{c+b}2$ согласно неравенству Коши. Суммируя эти неравенства по всем кляксам, получим, что общая их площадь не превосходит половины суммарной длины их проекций на горизонтальную и вертикальную стороны листа. Осталось заметить, что проекции клякс на данную сторону не пересекаются, поэтому сумма их длин не больше длины $a$ стороны, а сумма площадей не больше $\dfrac{a+a}2=a$.
