Обозначим сумму, стоящую в левой части неравенства, через $S$. Если для некоторого индекса $i$ имеем $x_i\ge1$, то каждое слагаемое суммы $S$, кроме, быть может, $i$-го слагаемого, не меньше 1; кроме того, $i$-е слагаемое положительно; отсюда сразу же следует требуемое неравенство.
Пусть теперь для каждого индекса $i$ имеем $0\lt x_i\lt1$. Ниже в предположении, что $x\gt0$ и $0\lt y\lt1$, будет доказано неравенство
$$
x^y\gt\dfrac x{x+y}.\tag{1}
$$
Считая это неравенство справедливым, получим
$$
S\gt\dfrac{x_2+\ldots+x_n}{x_1+\ldots+x_n}+\ldots+\dfrac{x_1+\ldots+x_{i-1}+x_{i+1}+\ldots+x_n}{x_1+\ldots+x_n}+\ldots+\dfrac{x_1+\ldots+x_{n-1}}{x_1+\ldots+x_n}=n-1,
$$
что и требовалось доказать.
Вернёмся к неравенству (1). Пусть $x\gt0$ и $0\lt y\lt1$; положим $a=\dfrac1y$. Используя известное неравенство Бернулли, получим
$$
\left(1+\dfrac yx\right)^a\gt1+\dfrac{ay}x=1+\dfrac1x\gt\dfrac1x.
$$
Отсюда $\dfrac{y+x}x\gt\dfrac1{x^y}$ и $x^y\gt\dfrac x{x+y}$. Итак, неравенство (1), а вместе с ним и неравенство нашей задачи, доказано.
Докажем теперь использованное нами неравенство, носящее имя Якоба Бернулли: при $h\gt0$, $a\gt1$
$$
(1+h)^a\gt1+ah.\tag{2}
$$
Если $h=0$, то обе части (2) равны 1. Поэтому достаточно убедиться, что производная левой части больше, чем правой: отсюда будет следовать, что левая часть с ростом $h$ растёт быстрее. Имеем:
$$
a(1+h)^{a-1}\gt a,
$$
поскольку $a-1\gt0$ и $1+h\gt1$. (Можно доказать, что неравенство Бернулли (2) справедливо для произвольных значений $a$ и $h$ таких, что $0\ne h\gt-1$ и $a\gt1$. Кстати, при $a\gt1$ и $h=-1$ неравенство (2) сохраняется, а при $a=1$ или $h=0$ — обращается в равенство.)
В заключение отметим, что если выбрать $x_1=1$ и $x_2=\ldots=x_n=\epsilon$, то $S=(n-1)\epsilon+(n-1)\cdot\big(1+(n-2)\epsilon\big)^\epsilon$, т. е. $S$ сколь угодно близко к $n-1$ при достаточно малом $\epsilon$. Следовательно, для каждого значения $n\gt1$ константа $n-1$ в правой части нашего неравенства точна, т. е. её нельзя заменить большей константой так, чтобы неравенство при этом осталось верным для произвольных наборов положительных чисел $x_1$, $\ldots$, $x_n$.
