Задача М12‍‍

Докажем, что этим свойством обладают только трапеции и параллелограммы.

Предположим, что четырёхугольник $ABCD$‍‍ разрезан прямой на два подобных четырёхугольника. Ясно, что эта прямая пересекает две противоположные стороны четырёхугольника. Пусть она пересекает сторону $AD$‍‍ в точке $K$‍‍ и сторону $BC$‍‍ в точке $L$‍‍ (рис. 2). В дальнейшем мы несколько раз используем такое очевидное соображение: если про два четырёхугольника $EFGH$‍‍ и $PQRS$‍‍ известно, что они подобны и что вершине $E$‍‍ соответствует вершина $P$‍,‍ то $\angle E=\angle P$‍,‍ $\angle G=\angle R$‍‍ и, кроме того, либо $\angle F=\angle Q$‍‍ и $\angle H=\angle S$‍,‍ либо $\angle F=\angle S$‍‍ и $\angle Q=\angle H$‍.‍

Итак, предположим, то четырёхугольники $ABLK$‍‍ и $CDKL$‍‍ подобны (нам понадобится только то, что их углы соответственно равны), и докажем, что у четырёхугольника $ABCD$‍‍ какие-то две стороны параллельны. Углу $\alpha$‍‍ четырёхугольника $ABLK$‍‍ ($\alpha=\angle AKL$‍)‍ может соответствовать один из углов четырёхугольника $KLCD$‍.‍

1. $\alpha$‍‍ соответствует $\angle D$‍.‍ Тогда $\alpha=\angle D$‍,‍ $\gamma=\angle B$‍,‍ $AB\parallel KL\parallel CD$‍.‍
2. $\alpha$‍‍ соответствует $\angle C$‍.‍ Тогда $\alpha=\angle C$‍,‍ $\delta=\angle B$‍‍ $\angle B+\angle C=\alpha+\delta=180^\circ$‍,‍ $AB\parallel CD$‍;‍ при этом $\angle A=\gamma$‍,‍ $\angle D=\beta$‍‍ (случай $\beta=\gamma$‍,‍ $\angle A=\angle D$‍‍ отдельно рассматривать не нужно, поскольку при этом $\beta+\gamma=180^\circ$‍‍ и $\angle A=\angle D=\beta=\gamma=90^\circ$‍).‍
3. $\alpha$‍‍ соответствует $\gamma$‍.‍ Тогда $\angle B=\angle D$‍,‍ $AD\parallel BC$‍‍ и $AB\parallel DC$‍,‍ т. е. $ABCD$‍‍ — параллелограмм.
4. $\alpha$‍‍ соответствует $\delta$‍.‍ Тогда $\alpha=\delta=90^\circ$‍,‍ $\angle B=\angle C$‍‍ и либо $\beta=\gamma=90^\circ$‍,‍ $AD\parallel BC$‍‍ (равнобочная трапеция или прямоугольник), либо $\beta=\angle D$‍,‍ $\gamma=\angle A$‍,‍ $\angle A+\angle D=180^\circ$‍,‍ $AB\parallel CD$‍,‍ и с точностью до обозначений этот случай сводится к случаю 2).

Мы доказали, что $ABCD$‍‍ — параллелограмм или трапеция. Легко заметить, что, обратно, любой параллелограмм или любую трапецию можно разбить на два подобных четырёхугольника. Параллелограмм любой прямой, проходящей через центр, разбивается на два равных четырёхугольника (разумеется, если только прямая не идёт по диагонали). Трапецию с основаниями $a\lt b$‍‍ разбивает на две подобных прямая, параллельная основаниям и делящая высоту в отношении $\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}$‍;‍ нужно, конечно, проверить, что соответственные стороны при этом пропорциональны (рис. 3): $\dfrac{AK}{KD}=\dfrac{BL}{LC}=\dfrac{AB}{KL}=\dfrac{KL}{DC}=\dfrac{\sqrt b}{\sqrt a}$‍.‍ Попробуйте выяснить, когда можно разбить трапецию на два подобных четырёхугольника более хитрым способом, соответствующим случаю 2), — так, как показано на рисунке 4 (ответ: тогда и только тогда, когда $\dfrac{\sqrt a}{\sqrt b}\lt\dfrac{\sin\alpha}{\sin\beta}$‍,‍ где $\alpha\lt\beta$‍‍ — углы при большем основании трапеции $b$‍).‍