Задача М1171‍‍

Заметим, что при $k\ge2$‍‍ $$ \dfrac1{h_{k-1}}-\dfrac1{h_k}=\dfrac1{kh_{k-1}h_k}\gt\dfrac1{kh_k^2}. $$ Суммируя эти неравенства по $k=2$‍,‍ 3, $\ldots$‍,‍ $n$‍,‍ получим неравенство $$ \dfrac1{2h_2^2}+\dfrac1{3h_3^2}+\ldots+\dfrac1{nh_n^2}\lt\dfrac1{h_1}-\dfrac1{h_n}\lt1 $$ ($h_1=1$‍).‍ Остаётся добавить к обеим частям $\dfrac1{h_1^2}=1$‍.‍