Ответ: наименьшее значение равно $2$.
Положим $a=y+z$, $b=x+z$, $c=x+y$ и рассмотрим треугольник со сторонами $a$, $b$, $c$; он существует, поскольку каждое из чисел $a$, $b$, $c$ меньше суммы двух других (см. рисунок). Периметр этого треугольника равен $2p=a+b+c=2(x+y+z)$, а площадь, по формуле Герона
$$
S=\sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}=\sqrt{(x+y+z)xyz}=1.
$$
С другой стороны, $2S=bc\sin\alpha$, где $\alpha$ — угол между сторонами $b$ и $c$, поэтому
$$
(x+z)(x+y)=bc\ge2S=2,
$$
причём равенство достигается для прямоугольного треугольника, т. е. при условии $a^2=b^2+c^2$, эквивалентном такому: $x(x+y+z)=yz$. (В частности, $(x+y)(x+z)=2$ при $x+y=x+z=\sqrt2$, $y+z=2$, т. е. $y=z=1$, $x=\sqrt2-1$.
Рисунок номер 1
Догадавшись, когда достигается равенство, легко найти и короткое чисто алгебраическое доказательство, использующее неравенство $p+q\ge2\sqrt{pq}$:
$$
(x+y)(x+z)=x(x+y+z)+yz\ge2\sqrt{xyz(x+y+z)}\ge2.
$$
