Для любого положительного $z$ число $[z]$ равно количеству натуральных чисел, не превосходящих $z$, поэтому $[\log_a m]$ есть количество точек вида $(m;y)$, где $y$ — натуральное число, не превосходящее $\log_a m$, а сумма $[\log_a 2]+[\log_a 3]+\ldots+[\log_a n]$ — это количество точек с натуральными координатами, лежащих ниже графика $y=\log_a x$ и левее прямой $x=n$. Аналогично, $[a]+[a^2]+\ldots+[a^k]$ — это количество точек с натуральными координатами, лежащих ниже прямой $y=k$ и левее графика $y=\log_a x$. Эти два множества точек не пересекаются, так как по условию на самом графике целочисленных точек нет (за исключением $(1;0)$). А объединение этих множеств, очевидно, даёт все целочисленные точки $(x;y)$ в прямоугольнике $1\le x\le n$, $1\le y\le k$, число которых равно $kn$.
