Ответ: первое число больше, если хотя бы два из чисел $a_i$ не равны 0 (что мы и будем предполагать в дальнейшем).
Докажем сразу более общее утверждение: функция $f(\alpha)=(a_1^\alpha+\ldots+a_n^\alpha)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\alpha}}$ монотонно убывает при $\alpha\gt0$, т. е. $f(\alpha)\gt f(\beta)$ при $0\lt\alpha\lt\beta$.
Не ограничивая общности, можно считать, что $a_1$ — наибольшее из чисел $a_i$, $a_1\gt0$. Положим $x_i=\dfrac{a_i}{a_1}$, тогда при $\alpha\lt\beta$
$$
f(\alpha)=a_1(1+x_2^\alpha+\ldots+x_n^\alpha)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\alpha}}\ge
a_1(1+x_2^\beta+\ldots+x_n^\beta)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\alpha}}\gt
a_1(1+x_2^\beta+\ldots+x_n^\beta)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\beta}}=f(\beta),
$$
поскольку $0\le x_i\le1$ при всех $i$ и суммы в скобках больше 1.
Интересно, что часто рассматриваемая величина $\left(\dfrac{a_1^\alpha+\ldots+a_n^\alpha}n\right)^{\frac{\scriptstyle1}{\scriptstyle\alpha}}$ — так называемое степенное среднее чисел $a_1$, $\ldots$, $a_n$ степени $\alpha$ — возрастает с ростом $\alpha$.
