Задача М1139‍‍

Наши рассуждения опираются на понятие кривизны многогранного угла — так называют величину $2\pi-\sigma$‍,‍ где $\sigma$‍‍ — сумма его плоских углов. О кривизне подробно рассказано в статье‍ С. Л. Табачникова в этом номере журнала, в частности, там доказана «формула Декарта» — сумма кривизн всех многогранных углов выпуклого многогранника равна $4\pi$‍.‍

а) Сумма плоских углов при любой вершине данного многогранника может равняться только $\dfrac\pi2$‍,‍ $\pi$‍‍ или $\dfrac{3\pi}2$‍.‍ В самом деле, она меньше $2\pi$‍,‍ поскольку многогранный угол при любой вершине выпуклый. В то же время этот угол образован сгибанием и склеиванием нескольких прямых углов (углов квадратов) и, может быть, развёрнутого угла (если рассматриваемая вершина приходится на внутреннюю точку стороны одного из квадратов). Следовательно, сумма его плоских углов кратна $\dfrac\pi2$‍.‍ Таким образом, кривизна многогранного угла при любой вершине не меньше $\dfrac\pi2$‍,‍ и по формуле Декарта число вершин не превосходит $4\pi:\dfrac\pi2=8$‍.‍ Пример 8-вершинника — куб.

б) Ответ: 12. Точно так же, как в п. а), доказывается, что кривизна многогранного угла при любой вершине не меньше $\dfrac\pi3$‍,‍ значит, число вершин не превосходит $4\pi:\dfrac\pi3=12$‍.‍ Пример 12-вершинника — правильный икосаэдр.