Для $n=1$: между 1 и 5 — числа 2, 3, 4;
для $n=2$: между 4 и $6+3\sqrt2$ — числа 6, 8, 9 (или 5, 8, 10);
для $n=10$: $x=10$ и $$\begin{align*}a&=8\cdot13=104,\\b&=9\cdot12=108,\\c&=9\cdot13=117.\end{align*}$$
Чтобы оценить нетривиальность этой задачи, возьмём $n=10$: попробуйте быстро найти три числа между $100$ и $[110+3\sqrt{10}]=119$, одно из которых делит произведение двух других! (Одна такая тройка указана на полях.)
Заметим, что для $n=1$ и $n=2$ утверждение задачи очевидно. Будем для каждого целого $n\gt2$ искать нужные три числа в виде
$$
\begin{align*}
a&=(n-x)(n+x+1)=n^2+n-x^2-x,\\
b&=(n-x+1)(n+x)=n^2+n-x^2+x,\\
c&=(n-x+1)(n+x+1)=n^2+2n+1-x^2,
\end{align*}
$$
где $x$ — целое; ясно, что при этом $ab$ будет делиться на $c$.
Пусть $x$ — наибольшее целое число, для которого $x^2+x\lt n$. Тогда $n^2\lt a\lt b\lt c$, и остаётся доказать, что $c\lt n^2+n+3\sqrt n$, т. е. что $n+1-x^2\lt 3\sqrt n$. Предположим, напротив, что $x^2\le n-3\sqrt{n}+1$. Тогда $x\lt\sqrt n-\dfrac32$ $\Big($иначе $x^2\ge n-3\sqrt{n}+\dfrac94\Big)$, и, следовательно, $x+1\lt\sqrt{n}-\dfrac12$. Но в этом случае
$$
(x+1)^2+(x+1)\lt\left(n-\sqrt n+\dfrac14\right)+\left(\sqrt n-\dfrac12\right)\lt n,
$$
что противоречит выбору $x$.
