В выпуклом $n$-угольнике все углы равны и из некоторой точки, расположенной внутри $n$-угольника, все его стороны видны под равными углами. Докажите, что этот $n$-угольник правильный.
Пусть в $n$-угольнике $A_1A_2\ldots A_n$ (см. рисунок) все углы равны, т. е. каждый из них равен $\dfrac{180^\circ(n-2)}{n}$, и точка $M$ такова, что $$
\angle A_1MA_2=\angle A_2MA_3=\ldots=\angle A_nMA_1=\dfrac{360^\circ}n.
$$
Тогда все треугольники $A_1MA_2$, $A_2MA_3$, $\ldots$, $A_nMA_1$ подобны: если $\angle MA_1A_2=\alpha$, то $$
\begin{align*}
\angle A_1A_2M&=\beta=180^\circ-\dfrac{360^\circ}n-\alpha,\\
\angle MA_2A_3&=\dfrac{180^\circ(n-2)}n-\beta=\alpha,\\
\angle A_2A_3M&=180^\circ-\dfrac{360^\circ}n-\alpha=\beta,
\end{align*}
$$
и т. д., поэтому
$$
\dfrac{MA_1}{MA_2}=\dfrac{MA_2}{MA_3}=\ldots=\dfrac{MA_{n-1}}{MA_n}=\dfrac{MA_n}{MA_1}=k.
$$
Перемножив эти отношения, получаем, что $k^n=1$, т. е. $k=1$. (Можно рассуждать и «от противного»: если $k\lt1$, то $MA_1\lt MA_2\lt \ldots\lt MA_n\lt MA_1$; если $k\gt1$, то $MA_1\gt MA_2\gt\ldots\gt MA_n\gt MA_1$ — противоречие.) Отсюда следует, что $\alpha=\beta$, и $M$ — центр правильного $n$-угольника $A_1A_2\ldots A_n$.
