Задача М1136‍‍‍

Доказательство сводится к весьма искусственному (но и искусному!) тождественному преобразованию. Умножив разность левой и правой частей неравенства на их общий знаменатель $AMS(AMS+1)$‍‍ и произведя перегруппировку слагаемых, получим $$ \begin{gather*} A^2M^2S^2(A+M+S)-2AMS(AM+MS+SA)+(AM^2+MS^2+SA^2)+{}\qquad\\ \qquad{}+AMS(AM^2+MS^2+SA^2)-2AMS(A+M+S)+(AM+MA+AS)=\\[5pt] =AM(M+1)(SA-1)^2+MS(S+1)(AM-1)^2+SA(A+1)(MS-1)^2\ge0, \end{gather*} $$ причём равенство, очевидно, достигается только при $A=M=S=1$‍.‍ Это решение сообщил автору задачи крупный специалист по циклическим неравенствам профессор П. Х. Диананда из Сингапура.