Докажите, что множество решений неравенства
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}\dfrac{k}{x-k}\ge \dfrac54
$$
является объединением непересекающхся промежутков, сумма длин которых равна 1988.
Область определения неравенства есть объединение полупрямых $(-\infty;1)$, $(70;\infty)$ и интервалов $(1;2)$, $(2;3)$, $\ldots$, $(69;70)$. Очевидно (см. примерный график на рисунке), на каждом из промежутков левая часть неравенства непрерывна и монотонно убывает: от 0 до $-\infty$ и от $\infty$ до 0, соответственно, на полупрямых, и от $\infty$ до $-\infty$ на интервалах. Следовательно, на каждом промежутке, кроме $(-\infty;1)$, она принимает значение $\dfrac54$ ровно в одной точке. Обозначим эти точки в порядке возрастания через $x_1$, $x_2$, $\ldots$, $x_{70}$, тогда множество решений неравенства есть объединение полуинтервалов $(k;x_k)$, $k=1$, 2, $\ldots$, 70. Числа $x_k$ — это корни многочлена$$
\textstyle\prod\limits_{k=1}^{70}{}(x-k)-\dfrac45\sum\limits_{k=1}^{70}k\prod\limits_{i\ne k} {}(x-i).
$$
По теореме Виета (см. «Квант», 1987, № 4, с. 41) их сумма равна коэффициенту при $x^{69}$ со знаком минус, т. е.
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}k+\dfrac45\sum\limits_{k=1}^{70}k,
$$
следовательно, сумма длин полуинтервалов равна
$$
\textstyle\sum\limits_{k=1}^{70}{}(x_k-k)=\dfrac45\sum\limits_{k=1}^{70}k=1988.
$$
