Пусть $n$ — натуральное число и $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n+1}$ подмножества некоторого множества $B$. Предположим, что
каждое множество $A_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, $2n+1$) содержит ровно $2n$ элементов;
каждое множество $A_i\cap A_j$ ($1\le i\lt j\le 2n+1$) содержит ровно один элемент;
любой элемент множества $B$ принадлежит не менее чем двум из множеств $A_i$ ($i=1$, 2, $\ldots$, $2n+1$).
Для каких значений $n$ можно поставить в соответствие каждому элементу множества $B$ одно из чисел — 0 или 1 — так, чтобы каждое из множеств $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n+1}$ содержало ровно $n$ элементов, соответствующих числу 0?
Покажем, что каждый элемент множества $B$ принадлежит ровно двум из множеств $A_i$. Наличие хотя бы двух таких множеств обеспечено условием в). Допустим, что некоторый элемент принадлежит трём множествам, скажем, $A_{2n+1}$, $A_i$, $A_j$. Сопоставим ему множество $A_i$, а каждому из остальных элементов $x\in A_{2n+1}$ — одно из содержащих элемент $x$ по условию в) множеств $A_1$, $A_2$, $\ldots$, $A_{2n}$. Тогда разным элементам будут сопоставлены разные множества, причём множество $A_i$ не отвечает ни одному элементу (иначе какое-то пересечение $A_{k}\cap A_{2n+1}$, $k\ne 2n+1$, содержит два элемента, что противоречит условию б)). Поэтому число элементов в $A_{2n+1}$ не превосходит $2n-1$. А это противоречит условию а) и, тем самым, опровергает наше допущение.
Если задано распределение нулей и единиц по элементам множества $B$ такое, что в каждом множестве $A_i$ имеется ровно $n$ «0-элементов», то общее число «0-элементов» равно $\dfrac{n(2n+1)}2$ (каждый из них принадлежит двум множествам $A_i$). А это число целое только при чётном$n$.
Обратно, для каждого элемента $x$ множества $B$ рассмотрим единственную содержащую его пару множеств $\{A_i,A_j\}$ и сопоставим элементу $x$ число 0, если $|i-j|\le\dfrac n2$ или $|i-j|\gt\dfrac{3n}2$, и 1, если $\dfrac n2\lt|i-j|\le\dfrac{3n}2$. При чётном $n$ мы получим ровно $n$ «0-элементов» в каждом множестве $A_i$, что и требуется.
Рис. 1Рис. 2
При решении этой задачи основные усилия уходят на то, чтобы как следует понять условие. Здесь очень помогает графическая интерпретация (см. рисунки 1 и 2 для $n=4$): каждое множество $A_i$ изображается вершиной правильного $(2n+1)$-угольника, а единственный общий элемент множеств $A_i$ и $A_j$ — отрезком, соединяющим соответствующие вершины, причём красные отрезки изображают «0-элементы», а синие «1-элементы»; множество $B$ находится во взаимно однозначном соответствии с множеством всех этих отрезков. Полезно проследить за нашими рассуждениями на этом графе.
