Ответ: система имеет три решения: $x_2=x_3=x_4=x_5=x_1$, где $x_1=0$, $x_1=\dfrac13$ или $x_1=-\dfrac13$.
Вместе с каждым набором чисел $(x_1,x_2,x_3,x_4,x_5)$, удовлетворяющим этой системе уравнений, ей удовлетворяют также наборы, полученные циклической перестановкой:
$(x_2,x_3,x_4,x_5,x_1)$,
$(x_3,x_4,x_5,x_1,x_2)$
и т. д.
Поэтому можно предполагать, что $x_1\ge x_i$ ($i=2$, 3, 4, 5).
Воспользуемся тем, что функция $f(x)=\dfrac{x^5}{3}$ возрастающая. При нашем предположении
$$
3x_2=(x_4+x_5+x_1)^5\ge(x_3+x_4+x_5)^5=3x_1 \tag{1}
$$
откуда $x_2\ge x_1$, т. е. $x_2=x_1$.
Затем аналогично из неравенства
$$
3x_3=(x_5+x_1+x_2)^5\ge(x_4+x_5+x_1)^5=3x_2 \tag{2}
$$
выводится, что $x_3=x_2=x_1$; из неравенства
$$
3x_4=(x_1+x_2+x_3)^5\ge(x_5+x_1+x_2)^5=3x_3 \tag{3}
$$
следует, что $x_4=x_3$ и, наконец, из равенства
$$
3x_5=(x_2+x_3+x_4)^5=(x_1+x_2+x_3)^5=3x_4 \tag{4}
$$
получаем $x_5=x_4$.
(Заметим, что можно рассуждать и короче: уже из неравенства (1) — зная, что оно обращается в равенство, — мы могли заключить, что $x_3=x_1$, а затем из (3), — что $x_5=x_1$.)
Итак, все $x_i$ ($i=1$, 2, 3, 4, 5) равны одному и тому же числу $x_1$; для него получаем уравнение $(3x_1)^5=3x_1$,
откуда $x_1=0$ или $x_1^4=\dfrac1{3^4}$, т. е. $x_1=\pm\dfrac13$.
