Точки $K$, $L$, $M$ — это точки касания сторон данного треугольника $ABC$ со вписанной в него окружностью (см. рисунок; если $OK=OL=OM$ — радиусы вписанной окружности, то $CK=CL$, $AL=AM$ и $BM=BK$ как отрезки касательных ко вписанной окружности, причём дуги соответствующих радиусов с центрами $C$, $A$ и $B$ в своих концах $K$, $L$ и $M$ касаются радиусов $OK$, $OL$ и $OM$).
Рисунок номер ...
Касательная, проведённая через середину $C'$ дуги $KL$ (с центром $C$), отсекает от $\triangle ABC$ равнобедренный треугольник, по площади равный четырёхугольнику $CKOL$: высота $CC'$ разрезает этот равнобедренный треугольник на два прямоугольных, равных $\triangle KCO=\triangle LCO$. Тут следует ещё отметить, что эта касательная (на рисунке — красная) всегда пересекает стороны $CA$ и $CB$ (угол $COB$ тупой, поскольку полусумма двух углов $B$ и $C$ треугольника $ABC$ меньше $90^\circ$, поэтому гипотенуза $CO$ треугольника $COK$ меньше $CB$; аналогично $\angle COA\gt 90^\circ$, и поэтому $CO\lt CA$). Аналогичная перестройка для двух других красных касательных превращает равнобедренные треугольники с высотами $AA'$ и $BB'$ в четырёхугольники $ALOM$ и $BMOK$. Таким образом, сумма площадей трёх равнобедренных треугольников с красными основаниями равна площади треугольника $ABC$. Отсюда вытекает последнее утверждение задачи: площадь, не покрытая треугольниками, равна площади, покрытой ими дважды.
