Докажите, что если $a$, $b$ и $c$ — длины сторон треугольника, то $$2\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{a}{c}\right)\ge\frac{a}{c}+\frac{c}{b}+\frac{b}{a}+3.$$
Перепишем доказываемое неравенство в виде
$$
\dfrac{2a}b-\dfrac ba+\dfrac{2b-a}c+\left(\dfrac2a-\dfrac1b\right)c\ge3.\tag{*}
$$
Фиксируем $a$ и $b$ и найдём минимум суммы двух последних слагаемых левой части как функции от $c$; при этом можно считать, что $c$ не превосходит $a$ и $b$, так как исходное неравенство не меняется при циклических перестановках величин $a$, $b$, $c$. Имеем:
$$
\dfrac{2b-a}c+\left(\dfrac2a-\dfrac1b\right)c=(2b-a)\,f(c),
$$
где $f(x)=\dfrac1x+\dfrac x{ab}$. Поскольку $2b-a\ge b+c-a\gt0$, а функция $f(x)$ убывает при $0\lt x\le\sqrt{ab}$ (график $f(x)$ для $a\gt b$ приведён на рисунке) и $f(a)=f(b)=\dfrac1a+\dfrac1b$, при $c\le\min(a,b)\le\sqrt{ab}$
$$
(2b-a)\,f(c)\ge(2b-a)\left(\dfrac1a+\dfrac1b\right)=\dfrac{2b}a-\dfrac ab+1.
$$
Таким образом, левая часть неравенства (*) не меньше чем $\dfrac{2a}b-\dfrac ba+\dfrac{2b}a-\dfrac ab+1=\dfrac ab+\dfrac ba+1$, а это число, очевидно, не меньше 3.
